Proportionnalité et fonctions linéaires/affines

La proportionnalité et les fonctions linéaires/affines relient plusieurs parties du programme de Mathématiques (pourcentages, vitesse, géométrie) et apparaissent très régulièrement au Brevet, souvent avec un tableau de valeurs ou un graphique à interpréter.

Reconnaître une situation de proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles si l'une s'obtient en multipliant l'autre par un nombre fixe, appelé coefficient de proportionnalité. Dans un tableau, cela se vérifie en calculant si tous les quotients (valeur de la ligne 2) / (valeur de la ligne 1) sont égaux.

Fonction linéaire

Une fonction linéaire s'écrit f(x) = ax, où a est le coefficient. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine (0 ; 0). C'est le modèle mathématique exact d'une situation de proportionnalité.

Fonction affine

Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b. Sa représentation graphique est une droite de coefficient directeur a et d'ordonnée à l'origine b (le point où la droite coupe l'axe des ordonnées). Si b ≠ 0, ce n'est pas une situation de proportionnalité.

Calculer le coefficient directeur à partir de deux points

Pour deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) d'une droite :

a = (y_B − y_A) / (x_B − x_A)

Exemple travaillé

Un forfait de téléphone coûte 15 € par mois, plus 0,10 € par minute de communication au-delà du forfait inclus. Exprimer le coût total C en fonction du nombre de minutes x au-delà du forfait.

C(x) = 0,10x + 15

C'est une fonction affine (et non linéaire, car il y a un coût fixe de 15 € même sans dépassement). Le coefficient directeur est 0,10 (coût par minute), l'ordonnée à l'origine est 15 (l'abonnement fixe).

Si x = 20 minutes de dépassement, quel est le coût total ?

C(20) = 0,10 × 20 + 15 = 2 + 15 = 17 €

Stratégie épreuve

Face à un tableau de valeurs, calculez systématiquement au moins deux quotients avant de conclure à la proportionnalité — un seul quotient calculé ne suffit pas à prouver que TOUS les couples de valeurs sont proportionnels. Pour une fonction affine, identifiez toujours d'abord le coefficient directeur (le "prix par unité" dans un contexte concret) avant l'ordonnée à l'origine (le "coût fixe").