Suites numériques

Les suites numériques sont un chapitre récurrent au BAC, souvent associé à un exercice complet noté sur plusieurs points. Deux types dominent le programme : les suites arithmétiques et géométriques.

Suite arithmétique

Une suite (uₙ) est arithmétique de raison r si, pour tout n : uₙ₊₁ = uₙ + r.

• Formule explicite : uₙ = u₀ + n·r
• Sens de variation : croissante si r > 0, décroissante si r < 0, constante si r = 0.
• Somme des n premiers termes : Sₙ = (n+1) × (u₀ + uₙ) / 2

Suite géométrique

Une suite (uₙ) est géométrique de raison q si, pour tout n : uₙ₊₁ = q × uₙ.

• Formule explicite : uₙ = u₀ × qⁿ
• Somme des n premiers termes : Sₙ = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q), pour q ≠ 1
• Limite quand n → +∞ :

- Si −1 < q < 1 : la suite converge vers 0.

- Si q > 1 : la suite diverge vers +∞.

- Si q ≤ −1 : la suite n'a pas de limite (oscille).

Comment reconnaître le type de suite

Calculer uₙ₊₁ − uₙ : si le résultat est constant, la suite est arithmétique (cette constante est r).

Calculer uₙ₊₁ / uₙ : si le résultat est constant, la suite est géométrique (cette constante est q).

Exemple travaillé

Soit (uₙ) définie par u₀ = 3 et uₙ₊₁ = uₙ + 5. Calculer u₁₀ et S₁₀ (somme de u₀ à u₁₀).

C'est une suite arithmétique de raison r = 5.

u₁₀ = u₀ + 10 × 5 = 3 + 50 = 53

S₁₀ = 11 × (u₀ + u₁₀) / 2 = 11 × (3 + 53) / 2 = 11 × 28 = 308

Raisonnement par récurrence

Pour démontrer une propriété P(n) vraie pour tout n, la rédaction attendue au BAC suit toujours trois étapes :

1. Initialisation : vérifier P(n₀) (souvent n₀ = 0).
2. Hérédité : supposer P(n) vraie et démontrer P(n+1).
3. Conclusion : par le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.

Stratégie épreuve

Un exercice sur les suites démarre presque toujours par "montrer que (uₙ) est arithmétique/géométrique" avant de demander la formule explicite. Ne devinez jamais le type de suite — calculez toujours uₙ₊₁ − uₙ ou uₙ₊₁ / uₙ et écrivez la conclusion explicitement : c'est une étape notée séparément.