Probabilités conditionnelles et arbre pondéré

Les probabilités conditionnelles forment un chapitre systématiquement présent au BAC, souvent sous forme d'un exercice complet avec un arbre pondéré. La rédaction précise des notations est aussi importante que le calcul.

Probabilité conditionnelle

La probabilité de B sachant A, notée P_A(B) (ou P(B|A)), se calcule par :

P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A), avec P(A) ≠ 0

On en déduit la formule des probabilités composées :

P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B)

Arbre pondéré

Un arbre de probabilités représente une succession d'événements. Deux règles à respecter :

• Sur chaque branche partant d'un même nœud, la somme des probabilités vaut 1.
• La probabilité d'un chemin (branche après branche) est le produit des probabilités rencontrées.
• La probabilité d'un événement final est la somme des probabilités de tous les chemins qui y mènent.

Formule des probabilités totales

Si A₁, A₂, ..., Aₙ forment une partition de l'univers (ils recouvrent tout, sans se chevaucher), alors pour tout événement B :

P(B) = P(A₁) × P_A₁(B) + P(A₂) × P_A₂(B) + ... + P(Aₙ) × P_Aₙ(B)

Événements indépendants

A et B sont indépendants si et seulement si P(A ∩ B) = P(A) × P(B), ce qui équivaut à P_A(B) = P(B) (connaître A ne change rien à la probabilité de B).

Exemple travaillé

Une urne contient 60% de boules rouges et 40% de boules bleues. Parmi les rouges, 30% sont marquées d'une étoile ; parmi les bleues, 50% le sont. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit marquée d'une étoile ?

Notons R = "rouge", B = "bleue", E = "marquée d'une étoile".

P(R) = 0,6 ; P(B) = 0,4 ; P_R(E) = 0,3 ; P_B(E) = 0,5

D'après la formule des probabilités totales :

P(E) = P(R) × P_R(E) + P(B) × P_B(E) = 0,6 × 0,3 + 0,4 × 0,5 = 0,18 + 0,2 = 0,38

Stratégie épreuve

Construisez systématiquement l'arbre pondéré avant de calculer, même si l'énoncé ne le demande pas explicitement — cela structure le raisonnement et évite les erreurs de formule. Écrivez toujours la formule utilisée (probabilités totales, composées) en toutes lettres avant de remplacer par les valeurs numériques : le jury note la méthode, pas seulement le résultat.