Dérivation et étude de fonctions
Nombre dérivé, dérivées usuelles, règles de dérivation et lien avec le sens de variation — la base de presque toutes les épreuves de mathématiques au BAC.
La dérivation est l'outil le plus utilisé dans l'épreuve de mathématiques du BAC (S et ES) : étude de fonctions, optimisation, tangentes. Maîtriser les dérivées usuelles et les règles de calcul est indispensable avant d'aborder le reste du programme.
Nombre dérivé et tangente
Le nombre dérivé de f en a, noté f'(a), est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. L'équation de la tangente en a est :
y = f'(a)(x − a) + f(a)
Dérivées usuelles à connaître par cœur
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| f(x) = k (constante) | f'(x) = 0 |
| f(x) = x^n | f'(x) = n·x^(n−1) |
| f(x) = 1/x | f'(x) = −1/x² |
| f(x) = √x | f'(x) = 1/(2√x) |
| f(x) = eˣ | f'(x) = eˣ |
| f(x) = ln(x) | f'(x) = 1/x |
Règles de dérivation
- Somme : (u + v)' = u' + v'
- Produit : (uv)' = u'v + uv'
- Quotient : (u/v)' = (u'v − uv') / v²
- Composée : (u(ax + b))' = a·u'(ax + b)
Dérivée et sens de variation
C'est le lien le plus testé au BAC :
- f'(x) > 0 sur un intervalle → f est croissante sur cet intervalle.
- f'(x) < 0 sur un intervalle → f est décroissante sur cet intervalle.
- f'(x) = 0 → point critique, souvent un extremum (maximum ou minimum local).
Exemple travaillé
Soit f(x) = x³ − 3x + 2. Étudier les variations de f.
f'(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x − 1)(x + 1)
f'(x) s'annule en x = −1 et x = 1. On étudie le signe de f'(x) (parabole vers le haut, racines −1 et 1) :
- Sur ]−∞ ; −1[ : f'(x) > 0 → f croissante
- Sur ]−1 ; 1[ : f'(x) < 0 → f décroissante
- Sur ]1 ; +∞[ : f'(x) > 0 → f croissante
f admet donc un maximum local en x = −1 (f(−1) = 4) et un minimum local en x = 1 (f(1) = 0).
Stratégie épreuve
Au BAC, une question "étudier les variations" attend toujours trois étapes rédigées : calculer f'(x), étudier son signe (tableau de signes), puis conclure avec un tableau de variations. Ne sautez jamais l'étape du tableau de signes — c'est souvent ce qui rapporte des points même si la conclusion finale est fausse.
Simulation interactive
Bouge les curseurs : vois le changement en temps réel.
Courte vidéo de cours
Examen blanc
Quiz d'entraînement
Teste-toi : résultats et explications immédiats.
1. Si f'(x) > 0 sur un intervalle I, que peut-on dire de f sur I ?
2. Quelle est la dérivée de f(x) = x³ − 3x + 2 ?
3. Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de f en a ?
Besoin d'aide sur ce sujet ?
Lors d'un appel de découverte gratuit de 30 minutes, nous évaluons ton niveau et construisons un plan d'étude sur mesure.
Appel de découverte gratuit